Здравствуйте, Андрей! 
К сожалению, конструктор вы поставить на абхазский учет не сможете. По ГТД абхазская ГАИ его не оформит. И уж тем более, вы не сможете оформить на него временный ввоз в Россию. 
Многие меня спрашивают по поводу конструкторов и многие уверены, что машины из Абхазии это конструкторы. Это не так. В Абхазию конструкторы завозить нет смысла. Вы можете заказать у нас автомобиль с аукционов или же мы можем (если с конкретной машиной такое возможно)  подобрать авто со стоянок в Абхазии. 
Подробнее: https://abkhaz-project.ru/prodazha-i-oformlenie-avtomobilej-v-abxazii-dlya-rossiyan/
С уважением, координатор партнерства «Абхазские проекты» Кирилл Базилевский Ватсапп +7 916 1810-0919